Toán học Việt ngày xưa

 

Kính tặng Thầy Vũ Mộng Hà

Nguyễn Hoạt

 

Toán học người Việt đã xuất hiện từ lâu đời. Sữ cũ chép: các triều đình đã tổ chức các kỳ thi toán ở Quốc tử Giám [1].

         

Từ năm 1077, đời vua Lý Nhân Tông đã tổ chức kỳ thi Toán đầu tiên, cùng với thi Thư  và Hình luật để chọn người làm việc lại . Các kỳ thi này không tổ chức định kỳ, thường thì cứ 10 năm hoặc 15 năm sẽ có một kỳ thi chọn lại viên.

         
Theo quan niệm xưa  thì người làm việc lại không được coi trọng. Họ làm các công việc như coi sổ sách, giấy má, tính sưu thuế, tính diện tích các đám ruộng, việc binh lương và các việc quốc dụng khác như tính thể tích con đê, thành,  hào, tính số gạch, gỗ…nghĩa là cần toán.

           
Nhà sử học Phan Huy Chú đã viết  rằng “Xét ra chức nha, lại cho là hèn thấp. Việc kiểm soát sổ sách không giao cho kẻ sĩ. Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại là ti tiện nên không nhúng tay vào”[2].

         
Năm 1261, đời Trần Thánh Tông, thi lại viên với 2 môn Thư và Toán, ai trúng được sung vào chức Nội lĩnh sử. Các kỳ thi chọn lại viên tiếp theo được tổ chức vào các năm 1363, đời vua Trần Dụ Tông; năm 1373, đời vua Trần Duệ Tông; năm 1404, khi Hồ Hán Thương lên ngôi, thi chọn lại viên có môn Toán. Thời này, nhà Hồ không những bắt buộc chương trình thi toán mà còn áp dụng rộng rãi toán học vào kinh tế, sản xuất: dùng Toán học đo lại tổng số ruộng đất toàn quốc, lập thành sổ sách điền địa từng lộ, phủ, châu, huyện. Năm 1437, đời vua Lê Thái Tông có thi Toán với 690 người trúng cử được bổ các chức ở các nha môn. Tiếp theo, vào các năm 1475, 1477, 1483, 1507, 1572, 1722 và 1762 là kỳ thi chọn lại viên cuối cùng có thi Toán. Đặc biệt kỳ thi năm 1507, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Toán ở sân Điện Giảng Võ có hơn 3 vạn thí sinh, 1.519 người trúng tuyển.

Tuy nhiên, trong những năm sau đó, không thấy  tin tức gì về việc có môn toán hay không trong các kỳ thi. Phải đến năm 1762 mới có quy định về việc đưa môn toán vào trong các kỳ thi, nhưng chủ yếu là để tuyển lại, chứ không phải tuyển quan.

Lịch sử lưu danh Trạng nguyên Mạc Hiển Tích với số âm trong trò chơi Ô ăn quan, Toán học âm dương, Trạng nguyên Mạc Đĩnh Chi với phép chia tạo nên thế gian hài hòa. Nhiều người đã phát triển và bổ sung những tư tưởng toán học này như  Lương Thế Vinh (1442-1496) còn gọi là trạng Lường đỗ Trạng nguyên năm 1463, tác giả hai cuốn sách Đại thành Toán pháp và Khải minh Toán học.

Sau khi đỗ Trạng Nguyên, ông đã chuyên tâm viết nên cuốn sách Đại thành toán pháp, có thể ví như một cuốn sách giáo khoa toán học đầu tiên của nước ta. 

Đại thành Toán pháp được đưa vào chương trình thi cử suốt 450 năm trong lịch sử giáo dục Việt Nam. Sách dạy bản cửu chương, phép bình phương, khai căn bậc hai, sai phân, phân số, cách đo bóng tính chiều cao của cây, hệ thống đo lường đương thời (tiền, vải, thóc, gạo...), toán đo đạc diện tích ruộng đất, từ hình vuông, hình chữ nhật, tam giác, hình tròn, hình viên phân... đặc biệt là với mỗi phương pháp tính, ông lại làm một bài thơ Nôm tóm tắt một cách ngắn gọn dễ nhớ từng công thức toán học.         

Đầu đề các bài toán, rút ra từ thực tế cuộc sống. SáchToán này, có lẽ là sách xưa nhất còn lại đến nay. Ông cũng được xem là người chế ra bàn tính Việt. Cùng thời với ông có một nhà toán học khác là Hoàng Giáp tiến sĩ Vũ Hữu, đã viết cuốn Lập thành toán pháp là cuốn sách chuyên về toán học đầu tiên của nước ta .Ông đặt ra phép đo tính ruộng đất phổ biến trong cả nước. 

Theo sách Kể chuyện trạng Việt Nam. Bấy giờ, vua Lê Thánh Tông thấy mấy cổng thành Thăng Long xây dựng từ thời Lý đã hư hỏng nhiều, muốn xây lại.

Mấy đại thần được giao đo đạc mãi, mất cả tháng vẫn không sao tính ra được số gạch cần thiết để xây thành. Biết Vũ Hữu có tài tính toán, đo đạc, vua cử ông đến dự toán số gạch cần xây.

Sau khi đo đạc xong, ông thưa với vua rằng: "Thần đã tính toán kỹ, không thừa không thiếu một viên gạch". Một viên quan tỏ ý nghi ngờ, ép ông vào thế khó: “Đã vậy xin quan Lang trung làm cam kết, nếu sai lệch sẽ bị trị tội”.

Vua Lê Thánh Tông hỏi: "Các quan có ý như vậy, khanh có dám nhận không?". Vũ Hữu đáp: "Tâu bệ hạ, thần xin lĩnh ý".

Vũ Hữu sai người mua gạch xếp từng chồng ngay ngắn bên cổng thành Đông Hoa (Thăng Long). Khi công việc hoàn tất, viên quan nọ tỏ vẻ đắc ý: “Tâu bệ hạ, ở đây vẫn còn thừa một viên ạ”.

Vũ Hữu đỡ viên gạch  nói “bẩm bệ hạ và các vị đại thần, viên gạch này không thừa đâu. Tại mặt tường phía đông bên kia có một viên gạch bị vỡ, thần đã cho thửa riêng viên gạch này để thay thế".

Mọi người bán tín, bán nghi, Vũ Hữu dẫn vua sang bên kia tường thành, sai thợ trèo lên gỡ viên gạch vỡ ra và đem trám viên gạch mới vào thì vừa khít. Vua Lê rất hài lòng, mọi người ai cũng khâm phục Vũ Hữu.

Từ thế kỷ XVII, một người Anh tên là Dampier, sau một thời gian sống tại Việt Nam đã nhận xét: "Người Việt Nam rất giỏi số học, hình học và thiên văn học" trong bài "Một chuyến đi tới Bắc kỳ năm 1688" [3].

Nhận xét này không phải là mới lạ vì từ thượng cổ người Việt đã có những hiểu biết về số học bằng cách đếm như đã biểu hiện bằng các hoa văn trên các trống đồng Đông Sơn. Các cánh sao ở giữa trống thường có số cánh chẵn nhất là số 12  ứng với số tháng trong một năm? Khi khảo sát các hoa văn này, có thể nói người Việt cổ đã có nhận thức hình học và tư duy khá cao.Từ hình dáng, kích thước các trống đồng  cổ nhất ở Việt Nam, phải  hiểu là để tạo được những mặt tròn đường kính to nhỏ khác nhau, những mặt phẳng, những góc độ chính xác ấy, các nhà chế tạo trống đồng thuở đó phải sử dụng các con số, các loại thước chính xác.

Số học và hình học là căn bản của toán học, còn thiên văn là môn có nhiều liên hệ mật thiết với toán học cũng được người Việt quan sát, ghi chép từ lâu đời. Các tướng võ phải hiểu biết thiên văn để dùng binh.

Do thành kiến triều đình Việt thời đó đã có những lúc nhìn nhận ra vai trò của Toán học. Kẻ học để đi thi khoa cử không thi để làm lại viên. Những người thông minh học hành để trở thành kẻ sĩ lại coi khinh Toán học. Thế thì lấy đâu ra những nhà toán học giỏi. Hơn nữa, các công trình, các sách toán không được in ấn hoặc có cũng không được lưu giữ cẩn thận, bài bản thì lấy đâu ra tài liệu mà học.Hơn nữa sách vở bị thất lạc là do bị tịch thâu từ Việt Nam sang Trung Quốc trong thời gian nhà Minh chiếm đóng (1407-1427). Phần  nhiều các sách toán Việt Nam được viết vào thế kỉ XIX, thậm chí một số quyển được viết vào đầu thế kỉ XX, cho thấy rằng giáo dục toán học Việt Nam truyền thống vẫn tiếp tục cả sau khi Pháp xâm lược (1859) và tồn tại dưới hình thức nào đó cho tới tận đầu thế kỉ XX.

Trong  các sách toán xưa, đều có phần hình học dạy phép đo tính ruộng đất vì xã hội ta ngày trước sống về nông nghiệp, do đó nhu cầu phải giải quyết vấn đề tính toán đo đạc ruộng đất từ thời cổ. Sách Bút toán chỉ nam ghi [4] : Ruộng đất của ta ngày thời xưa rất phức tạp hình vuông, hình tròn, hình cung tên, đuôi cá, sừng trâu, tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, ngắn, dài, rộng, hẹp...Tuy phép cổ đối với các loại đều có họa đồ, đều có cách đo đạc nhưng mà thực tế ở ngoài đồng không bằng nhau... há đâu như trên giấy? Như vậy toán học là cần thiết cho vấn đề.

Toán học Việt ở thế kỹ XV-XVI ở trình độ sơ cấp và được thể hiện bằng những phép tính lập phương,  khai bình phương, sai phân, tích phân... tiêu biểu là nhà toán học nổ̉i danh  Lương Thế Vinh đã quan tâm đến việc xây dựng môn toán với câu Thần cơ diệu toán vạn niên sư (Ai tính toán giỏi là thầy muôn đời). Song toán học lúc này thiên nhiều về thực dụng thiếu lý thuyết cơ bản. Từ thế kỷ XV thì tóan học không phát triễn thêm vì khoa cử trọng văn chương hơn. 

Tuy nhiên dân gian đã có tri thức toán học mang tính chất kinh nghiệm thực tiễn như cất nhà ba bảy, có tiếng dài 3 thước 7 (~1m50) thì cột cao 9 th 1 (~3m60) còn gọi là nhà chín một theo những tỷ lệ cố định xưa. Công thức làm tượng Phật thì Nhất diện phân lưỡng kiên (chiều dài mặt bằng nửa chiều dài hai vai). Số pi  (π) cổ truyền được tính bằng công thức Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị (chia 8 phần, bỏ 3, còn 5, chia đôi) thì được  π = 16/5 =3,2.

Giai thoaị về Lương Thế Vinh. 

Sự sáng tạo khoa học của Lương Thế Vinh được truyền khẩu qua câu chuyện ông tiếp đón sứ nhà Minh là Chu Hy. 

         

Hy đã nghe nói về Lương Thế Vinh, không những nổi tiếng về văn chương âm nhạc, mà còn tinh thông toán học, nên thách đố Vinh cân một con voi. Lương Thế Vinh đưa voi lên một chiếc thuyền rồi đánh dấu mép nước bên thuyền, sau đó dắt voi lên. Tiếp theo, ông ra lệnh đổ đá hộc xuống thuyền, cho đến lúc thuyền chìm xuống đến đúng dấu cũ. Việc còn lại là đưa từng viên đá lên cân và cộng kết quả. 

         

Sau khi tính được cân nặng của voi, sứ thần nhà Minh vẫn tỏ ra chưa phục nên muốn làm khó Lương Thế Vinh. Sứ thần xé ra 1 tờ giấy và nói: "Tính cân nặng voi ông còn làm được thì chắc đo độ dày tờ giấy này cũng chẳng khó khăn gì nhỉ? 

         

Khi nghe ông nói chỉ cần đo bề dày cả cuốn sách rồi chia đều cho số tờ là ra ngay kết quả, Chu Hy ngửa mặt lên trời than: "Nước Nam quả có lắm người tài!".  

 

Bài toán 1 Đếm gà

Kim hữu gia kê nhất đại quần

Đình tiền tụ thực tẩu phân phân

Nhất hùng, tam phụ, phụ ngũ tử

Nhất bách thất thập nhất đầu thân

Số nội kỷ đa hùng, phụ, tử

Vấn quân bổ toán đắc tường vân?

Nghĩa bài toán đố là: Một đàn gà quây quần đông đủ trước sân để ăn thóc, chúng chạy lung tung nên rất khó đếm nhưng biết rằng: Cứ một con gà trống có ba con gà mái, một con gà mái có 5 con gà con. Đếm đi đếm lại tất cả được 171 vừa đầu vừa thân.

Hỏi: Trong số đó có bao nhiêu gà trống, gà mái, gà con?

 

Bài toán 2: Đo chiều cao của cây cổ thụ chỉ với 1 cây tre

Thuở nhỏ, khi Lương Thế Vinh chơi cùng đám bạn dưới bóng cây cổ thụ, bọn trẻ thách đố nhau tính được chiều cao của cây, ai cũng lắc đầu vì cây cao quá, chẳng thể leo lên mà đo, Vinh thấy thế liền nhặt cây tre dài 1 mét. Sau đó, cắm vuông góc mặt đất sao cho bóng cây đi qua đúng đỉnh của cây tre, đo được nó dài bằng nửa độ dài cây tre. Sau đó cậu tiếp tục đi đo chiều dài của bóng cây đang đổ dài trên mặt đất được 3 lần chiều dài cây tre và đưa ra lời giải.  Bọn trẻ ngơ ngác nhìn nhau chẳng hiểu  gì!

Lời giải 

Bài  1: Bài giải bằng phương pháp đại số , gọi x là số gà trống, vậy số gà mái là 3x, và số gà con là 5 nhân 3x bằng 15x, theo đề ra: x + 3x + 15x = 171 (hay 19x = 171 => x = 19). Đáp số: 9 gà trống, 27 gà mái và 135 gà con.

 

Bài  2: Bài toán có thể giải bằng  2 tam giác đồng dạng :

         

Do độ dài bóng của cây cổ thụ gấp 6 lần của đoạn tre nên chiều cao của cây sẽ gấp 6 lần độ dài đoạn tre (hay chiều cao cây sẽ là 1 x 6 = 6 m!)

 

Bài toán cổ: trăm trâu, trăm cỏ trâu đứng ăn năm trâu nằm ăn ba lụ khụ trâu già ba con một bó hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

Có 3 lời giải: Số trâu mỗi loại là:
         

          1: Trâu đứng 4, trâu nằm 18, trâu già 78.
          2: Trâu đứng 8, trâu nằm 11, trâu già 81.
          3: Trâu đứng 12, trâu nằm 4, trâu già 84. 

         

Bài thi toán sau, trích từ tài liệu mẫu dùng để luyện thi Toán kỳ thi chọn lại viên, do Phan Huy Khuông, người làng Đông Ngạc, Từ Liêm, Hà Nội soạn thời Lê mạt.[5]

 

Bài ra (Đầu bài):

Hỏi, nay được phụng ban vàng bạc cộng là 1000 cân. Số bạc ấy bản quan lĩnh, lượng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho các viên thuộc ở bản dinh là 328 người. Nếu sẽ chia đều cho mọi người thì còn lẻ 4 phân, 8 ly, nghĩ sao hạ chia đều, lẽ chưa được phải. Vậy phép chia đều không thể dùng, lẽ đã rõ ràng. Nay muốn đem số tiền ấy chia cho bản thuộc theo phép “sai suy“ (hoặc sai phân, suy phân là phép chia theo tỷ lệ ). Chia làm ba hạng: hạng Giáp 8 người, mỗi người được 7 phân; hạng Ất 20 người, mỗi người 5 phân; hạng Bính 300 người, mỗi người được 2 phân.

Như thế thì mỗi người được lĩnh bao nhiêu, và tính góp lại mỗi hạng được lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi toán, học tập đã tinh thông; hãy tính toán, biên biệt; nên tường tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ.

Lời giải:

Hạng Giáp được mỗi người 49 lạng, gộp thành 392 lạng. Hạng Ất mỗi người được 35 lạng, gộp thành 700 lạng. Hạng Bính mỗi người được 14 lạng, gộp thành 4200 lạng.

Tóm tắt lại đầu bài:

Đem 5292 lạng bạc chia cho 328 người. Nếu chia đều cho mọi người thi còn lẻ 4 phân, 8 ly

(1 lạng = 100 phân, 1 phân = 10 ly, 5292 = 328 * 16.134 + 0.048).

Nên phải chia theo phép sai phân (chia theo tỷ lệ). Chia thành 3 loại:

Hạng Giáp 8 người, hạng Ất 20 người, hạng Bính 300 người. Mỗi người hạng Giáp, Ất, Bính tương ứng tỷ lệ với 7, 5, 2.

Hỏi mồi người được lĩnh bao nhiêu? và gộp lại mỗi hạng được bao nhiêu?

Chú ý: Bài ra có nhiều chỗ thừa: số vàng, bạc 1000 lạng vua ban và lý do việc chia đều không hết (còn dư 4 phân, 8 ly) là không cần thiết.

Các bạn thử dủng tài trí để giải các bài toán trên nhưng không dùng phương trình, máy tính ngày nay và mất bao nhiêu giờ để khỏi bị phu nhân phiền hà về cái tội mê toán mà bỏ bê công việc nhà?

 

Tham khảo

[1]-Khâm định Việt sử thông giám cương mục,Đại việt sử ký toàn thư 

[2]-Phan Huy Chú-Lịch triều hiến chương 

[3]-Voyage au Tonkin en 1688 - Revue Indochinoise ,

[4]- Bút toán chỉ nam 筆算指南. Tác giả Nguyễn Cẩn 阮瑾 (cũng được viết là 謹)

[5]-Trần Đình Viện-Thi Toán đời xưa , Diễn đàn toán học,2007

 

Nguyễn Hoạt